12 正项级数收敛性的判别方法

时间:2022-04-18 01:20       来源: 未知
简介:第1 2讲 正 项12 正项级数收敛性的判别方法 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 问 题 引 入
雅各布 ? 伯努利与约翰 ? 伯努利12 正项级数收敛性的判别方法关于级数的研究
(2)证明 的和小于2
雅各布 ? 伯努利:“如果谁能解决并告知这个迄今为止
12 正项级数收敛性的判别方法我们还无能为力的问题,我们将不胜感谢。”
约翰 ? 伯努利的学生莱昂哈德 ? 欧拉解决了上述问题
(1)证明调和级数 发散
第1 2讲12 正项级数收敛性的判别方法 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 主 要 内 容
正项 级 数 收 敛 的充要 条件
比较 判 别 法
比值 判 12 正项级数收敛性的判别方法别 法 与 根 值判 别法
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 正 项 级 数 收 敛 的 充 要 条 件
定理1(正项级数收敛的充要条件)设 为正项级数,则该
级数收敛的充要条件是其部分和数列 有界,即存在不依赖
于n 的正常数 M,使得
若 ,则称级数 为正项级数
例1 证明级数 收敛.
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 正 项 级 数 收 敛 的 充 要 条 件
例2 设 p >1 为常数,则级数 收敛.
p-级数
非凡的结果!
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 较 判 别 法
定理2(比较判别法的不等式形式)设 和 均为正项级
数,且 ,则有
(1) 当级数 收敛时,级数 也收敛;
(2) 当级数 发散时,级数 也发散.
例3 证明:当 时,p-级数 发散.
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 较 判 别 法
例2 设级数 和 收敛,级数 的通项满足:
证明级数 也收敛.
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 较 判 别 法
定理3(比较判别法的极限形式)设 和 均为正项级数,
且 ,则
(1)当 时,级数 和 有相同的敛散性;
(2)当 时,如果级数 收敛,那么 收敛;
(3)当 时,如果级数 发散,那么 发散 .
第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 较 判 别 法
例3 判断级数 的敛散性 .
2
2
1
1 1
2 2 1n
n
n
n
?
?
?

例4 设 k 为正整数,讨论级数 的敛散性.
1
1
2k
n
n
n
?
?
?

第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 值 判 别 法 与 根 值 判 别 法
定理4(比值判别法)设 为正项级数,且 ,
则有
(1)当 时,级数 收敛;
(2)当 时,级数 发散.
1
n
n
a
?
?
?
0 1q? ?
1
n
n
a
?
?
?
1q ?
1
n
n
a
?
?
? 达朗贝尔判别法
例5 利用比值判别法判断下列级数的敛散性

第1 2讲 正 项 级 数 收 敛 性 判 别 方 法 — — 比 值 判 别 法 与 根 值 判 别 法
定理5(根值判别法)设 为正项级数,且 ,
则有
(1)当 时,级数 收敛;
(2)当 时,级数 发散.
1
n
n
a
?
?
?
0 1q? ?
1
n
n
a
?
?
?
1q ?
1
n
n
a
?
?
? 柯西判别法
例6 判断级数 的收敛性.
1
2 ( 1)
5
n
n
n
?
?
? 更多>> 简介:第13讲 变号级数收敛性判别方法——问题引入
级数 的收敛性
是否存在一般的判别收敛性的方法?
收敛级数满足结合律.那么,收敛级数满足交换律吗?
相加
什么条件能确保收敛级数满足交换律?
第13讲 变号级数收敛性判别方法——主要内容
交错级数
绝对收敛与条件收敛
级数收敛性判定一般方法
第13讲 变号级数收敛性判别方法——交错级数
定理2(拉链定理)数列 收敛的充要条件是它的两个子数列
和 收敛且极限相同.
交错级数——正负项交错出现的级数
定理1(莱布尼兹判别法)对于交错级数 ,若满足
(1) 单调减少,即 ;
(2) ,
则级数收敛,且 .
第13讲 变号级数收敛性判别方法——交错级数
例1 证明交错级数
收敛 .
1
1
(1) 1
n
n
n
n
?
?
?
? 例2考虑级数 的敛散性.
(1) 单调下降 (2)
级数为交错级数,但 1n
na n? ?
1( )n?
级数不满足收敛的必要条件,所以发散.
第13讲 变号级数收敛性判别方法——绝对收敛与条件收敛
变号级数
1
n
n
a
?
?
? 正项级数
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?利用比值或根值法判断级数 发散 级数 发散
1
n
n
a
?
?
?
例3 证明级数 当 时均发散.
1
n
n
x
n
?
?
?
定理2 若正项级数 收敛,则级数 收敛,且
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?
11
.nn
nn
aa


?
第13讲 变号级数收敛性判别方法——绝对收敛与条件收敛
定义1若级数 收敛,则称级数 为绝对收敛.若级数
收敛,而级数 发散,则称级数 为条件收敛.
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
?
绝对收敛的级数一定收敛,反之则不然.
1
1
1(1)n
n n
?
?
?
收敛, 1
11
11(1)n
nnnn

?

? ? 发散
1
n
n
x
n
?
?
?当 时 收敛, 收敛
1
n
n
x
n
?
?
?
第13讲 变号级数收敛性判别方法——绝对收敛与条件收敛
定理3(交换律)设 为绝对收敛的级数,则任意交换级数
项的前后位置,得到的新级数 仍然绝对收敛,且有
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
a
?
?
? ?
11
.nn
nn
aa


? ?
交换项的前后位置
第13讲 变号级数收敛性判别方法——绝对收敛与条件收敛
11
nn
nn
ab


?
定理4(级数的乘积)设 与 为绝对收敛的级数,则它
们的乘积 仍为绝对收敛,且
1
n
n
a
?
?
?
1
n
n
b
?
?
?
,1
ij
ij
ab
?
?
?
,1 1 1
.ij n n
ij n n
ab a b
?
?
?
1234 1234()()nnaaaa a bbbb b?
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
n
n
n
ab ab ab ab
ab ab ab ab
ab ab ab ab
?
?
?



?
级数相乘的结果
第13讲 变号级数收敛性判别方法——绝对收敛与条件收敛
两级数相乘的结果写成如下形式:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
123
n
n
n
nn n nn
ab ab ab ab
ab ab ab ab
ab ab ab ab
ab ab ab ab
?
?
?
?



?

?
柯西乘积 在绝对收敛的条件下,有
1121
11 1
()nn nn n
nn n
ab ababab
?
?
?
? ? ?
第13讲 变号级数收敛性判别方法——级数收敛性判定一般方法
当 时,几何级数 绝对数收敛
柯西乘积应用
第13讲 变号级数收敛性判别方法——级数收敛性判定一般方法
lim 0 ?nn
a

? 发散na?
为正项级数?na? 比较判别法(不等式与极限形式)
根值判别法 比值判别法
收敛?na? 收敛(绝对收敛)na?
1(1) ?n
nu?
为交错级数na? ?321 uuu
利用级数的运算性质
部分和其它判别法 收敛na?








是否
判别级数
敛散性的过程
第13讲 变号级数收敛性判别方法——级数收敛性判定一般方法
例4研究级数 的敛散性.
2
(1)
(1)
n
n
n n
?
?
?
?
(1) 0( )
(1)
n
n n
n
? ?
... 更多>>

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